不定积分∫sin⁴ (137x+270)dx的计算 主要内容： 本内容用凑分法、分部积分法以及三角公式变形等有关知识，介绍不定积分∫sin⁴ (137x+270)dx的计算步骤。 详细步骤： I=∫sin⁴ (137x+270)dx 对微元进行凑分 =(1/137)∫sin⁴ (137x+270)d(137x+270) =(1/137)∫sin⁴ (137x+270)sin(137x+270)d(137x+270) 对三角函数进行凑分 =-(1/137)∫sin⁴ (137x+270)dcos(137x+270) 以下进行分部积分法 =-(1/137)sin³(137x+270)cos(137x+270)+(1/137)∫cos(137x+270)dsin³(137x+270)； =-(1/137)sin³(137x+270)cos(137x+270)+3∫sin²(137x+270)sin²(137x+270)dx；
使用sin²x+ cos²x=1公式进行变形， =-(1/137)sin³(137x+270)cos(137x+270)+3∫[1-sin²(137x+270)]sin²(137x+270)dx =-(1/137)sin³(137x+270)cos(137x+270)+3∫sin²(137x+270)dx-3I,则： 4I=-(1/137)sin³(137x+270)cos(137x+270)+3∫sin²(137x+270)dx; I=-(1/548)sin³(137x+270)cos(137x+270)+(3/4)∫sin²(137x+270)dx; 使用倍角公式cos2x=1-2sin²x得， I=-(1/548)sin³(137x+270)cos(137x+270)+(3/8)∫[1-cos2(137x+270)]dx; =-(1/548)sin³(137x+270)cos(137x+270)-(3/8)∫cos2(137x+270)dx+(3/8)∫dx; =-(1/548)sin³(137x+270)cos(137x+270)-(3/2192)∫cos2(137x+270)d[2(137x+270)]+(3x/8); 所以： I=-(1/548)sin³(137x+270)cos(137x+270)-(3/2192)sin2(137x+270)+(3x/8)+C1.
